臺北市立西松高中 蘇惠玉教師
目前的高中數學教材中，已經不再教授開平方的直式開方法，在課綱中只要求學生會估計平方根的近似值即可。然而在統計部分的單元學習中，仍有些題目要求學生計算某些牽涉到平方根統計量的近似值，例如標準差。在筆者的教學經驗中，常有學生會問如何開平方根，因此筆者將在此篇文章中，以中國古算的開方術為基礎，介紹所謂的直式開方法。
《九章算術》〈少廣〉卷中有問：
今有積五萬五千二百二十五步。問為方幾何？
開方術曰：置積為實。借一筭，步之，超一等。議所得，以一乘所借一筭為法，而以除。除已，倍法為定法。其復除。折法而下。復置借筭，步之如初，以復議一乘之，所得副以加定法，以除。以所得副從定法。復除，折下如前。
這一段開方術，看起來不太好理解，由於古時候中算以算籌代筆，計算的過程實際上就是算籌的操弄，因此術文中有一些是算籌所帶來的難度，在此忽略不管。同時在劉徽的注釋中，他也提供了一個相當清楚簡潔的幾何解釋。
我們先以簡單的 144144 為例，如題目所言，假設一個面積為 144144 的正方形，如下圖。
由於十進位制的關係，100100 開方為 1010，因此先考慮十位數 aa。
由於 1010 的平方為 100100 最接近而不超過，因此開方後得十位數為 11。
從面積為 144144 的正方形中，扣除一個面積為 102=100102=100 的小正方形後，
剩下二個矩形與一個小正方形。
此時設下一位的個位數為 bb，小正方形的邊長則為 bb，
因此剩餘的面積 144−100=44144−100=44 應該要等於兩個矩形與小正方形的面積和，
故將先前得到的十位數 11 乘以 22 倍得 2020，
再考慮 bb，要使得 b(20+b)=44b(20+b)=44，因此得 bb 為 22，
因為 2×(20+2)=442×(20+2)=44，故得 144144 的平方為 1212。
從幾何解釋中我們可以發現，當我們所求的平方根為二位數時，所用到的代數關係式即是
(a+b)2=a2+2ab+b2=a2+b(2a+b)(a+b)2=a2+2ab+b2=a2+b(2a+b)。
先猜測十位數字(1)，減去其平方(100)之後，將此數2倍(1+1=2)，再猜測個位數字。
而在上述所提少廣卷中的問題，求面積為55225的正方形邊長，估計所求的平分根為三位數，由
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=a2+b(2a+b)+c(2a+b+c)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=a2+b(2a+b)+c(2a+b+c)
可知，此時開方所使用的方法與前面相同，只是多求1個位數而已。計算步驟如下：
- 將 5522555225 從個位數開始二位一撇作記號（定位），由此知所求平方根為三位數 a+b+ca+b+c
- 猜測最接近 55 的平方數為 2(a=200)2(a=200)，從 5522555225 中減去 2002=400002002=40000，剩下 1522515225
- 將 200200 自己加一次（22倍），考慮下一位數 bb，要接近而不超過 1522515225，得 b=30b=30，
從 1522515225 中減去 30×430=1290030×430=12900，剩下 23252325
- 將 3030 再加一次（22倍），併入之前的結果得 460460，考慮下一位數 cc，
要接近 23252325 而不超過，得 c=5c=5，從 23252325 中減去 5×465=23255×465=2325，餘數為 00
如果在個位數減完之後還有剩，則在個位數之後標示小數點，一次考慮兩個數字，繼續同樣的動作，直到得到想要的位數為止，例如求 52580−−−−−√52580，前面的步驟與上面相同，接下來如下：
得到 52580−−−−−√≈235.1152580≈235.11。
本城市首頁
等級：8
