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離散數學是什麼
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(一)「離散數學」(Discrete Mathematics)是什麼?
  自遠古數學活動肇始之初,算術與幾何便分別代表了離散與連續觀念的源頭。兩種思維方式相互的辯證發展,造就了內容繽紛的數學世界。但自牛頓開創微積分學以後,以分析為首的連續性數學獨領風騷近三百年之久。今日所謂離散數學的若干題材,在數論、圖論、代數、機率、計算幾何等領域中,被發展及使用起來,慢慢產生出新的焦點,以及新的學科意識。一些彼此關連掛鉤的研究領域,開始匯聚在離散數學這張大傘之下了。特別自三十年代以後,計算科學在理論與實務上都有突破性的發展。電子計算機這種能力巨大的資訊處理工具,把人類文明帶入一個嶄新的階段。它不僅提供了生活的方便,更深深影響人的思維方式與知識發展的進路。計算機必須通過離散的表徵才能處理資訊,古典連續數學經由它的離散化,反而產生了深刻的離散問題,同時彰顯了離散現象的重要性。此外,計算機幫助人處理極大量的有限數及有限結構,踏入前人無法想像的天地,更開展了新意義、新層次的問題以供研究。

(二)「離散數學」這個領域包含了什麼?
  離散數學這個名詞只是一個通稱,其中包羅了許多學域,比較居樞紐地位的包括下列幾種:
1.由古典計數問題一脈相傳而下,包括有限集合族上的各類問題。 
2.以代數、拓樸方法建立組合學體系的研究。 
3.以群論、有限幾何為主要工具的設計理論(Design Theory)。 
4.圖形、網路與超圖的理論(Hypergraph)。 
5.最佳化、運籌學(Operation Research)與賽局理論(Game Theory)。 
6.編碼(Coding Theory)與密碼理論(Cryptography)。 
7.計算幾何學。 
8.演算法的設計與分析。 

(三)「離散數學」這個領域有些什麼應用?
  在應用方面,最大的市場之一是計算科學,已成為計算機科學界教育裡必修課程。所有數位化的產物,如雷射唱盤、光碟、大哥大、衛星通訊等等都仰賴錯誤更正碼(Error Correcting Code)的設計以增加它們的可靠性,提款卡、簽帳卡等也是密碼學的附屬品。少了這些,人類的生活都不知道要如何繼續下去!另外,DNA的定序問題,工作流程的分析,交通號誌的安排,處處可見離散數學應用的例子。由此可預見,非數學科系對離散數學的需求將日漸增高,甚至已經有人呼籲,以「離散數學」作為大一的基礎數學課程之一。

(四) Concrete Mathematics(具體數學)
It provides the mathematical background for computer science, especially the analysis of algorithms. While some of the topics in Concrete Mathematics are similar to those covered by traditional Discrete Mathematics textbooks, the authors have an unique approach to the subject matter: They explain in the preface that concrete mathematics "is a blend of CONtinuous and disCRETE mathematics," and Calculus is frequently used in the explanations and exercises. The term is also used to denote the opposite of abstract mathematics.

具體數學,從字面上它和傳統的“抽象數學”對立。其命名其實是連續(CONtinuous)和離散(disCRETE)的融合。不過名字不重要,內容主要是說在計算機科學領域所遇到的問題和傳統數學常常不太相同,傳統數學的方法和理念往往不容易用來解決計算機問題,所以這個學科主要致力如何解決計算機科學的問題,為計算機演算法奠定一個數學基礎,或者說給一些可用的數學方法。具體數學最早是上個世紀70年代,由著名的學者 Donald E. Knuth在史坦福開設的一門課,這門課的課義後來印成一本書,即以具體數學為書名。 

(五) Combinatorics(組合數學;組合學)
Combinatorics is a branch of mathematics that studies collections (usually finite) of objects that satisfy specified criteria. In particular, it is concerned with "counting" the objects in those collections (enumerative combinatorics), with deciding when the criteria can be met, with constructing and analyzing objects meeting the criteria (as in combinatorial designs and matroid theory), with finding "largest", "smallest", or "optimal" objects (extremal combinatorics and combinatorial optimization), and with finding algebraic structures these objects may have (algebraic combinatorics). Combinatorics is as much about problem solving as theory building, though it has developed powerful theoretical methods, especially since the later twentieth century. One of the oldest and most accessible parts of combinatorics is graph theory which is now connected to other areas.
Combinatorics seeds to answer questions of the form:
1. Is it possible to ...?
2. How many ways are there to ...?
which are fundamental to probability and algorithm analysis.

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引用
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