分3段討論

1.Solow模型與利率

2.利率與年金制度

3.世代交易

若勞動技術進步率λ,人口成長率n,折舊δ,生產函數Y= J K^a L^b

其中J=J0 e^(bλt), L=L0 e^(nt), K=K0 e^((n+λ)t)

每勞工消費=(所得-資本折舊-新增投資)/L=(Y-δK-dK/dt)/L=J (K/L)^a-(δ+n+λ)(K/L)

= e^(λt) [ J0 (K0/L0)^a - (δ+n+λ) (K0/L0) ) 對K0/L0微分求極值可得

於任意時間點t, 當K0/L0= [aJ0/(δ+n+λ)]^(1/b)時有最大勞工平均消費值

則工資(w)=dY/dL= bJ(K/L)^a=b J0 (K0/L0)^a e^(λt), 工資成長率=λ

而利率(i)=dY/dK-δ=n+λ

也就是說在勞工技術進步的Solow模型中,

均衡時薪資會隨技術進步增加,利率會等於(人口成長率+技術進步率)

假定利率i,勞工工作T1年薪資w=w0 e^(λt),t=0退休,餘命T2年,

透過年金將薪資平均分配到(T1+T2)年每年消費x=x0 e^(λt)

當折現至t=0時,

總收入=∫w e^(-it) dt= Δ( w0/(λ-i) e^((λ-i)t)))= w0/n (e^(nT1)-1)

同理總支出= x0/n (e^(nT1)-e^(-nT2))

支出=收入則解得 x0=w0 (e^(nT1)-1)/ (e^(nT1)-e^(-nT2)) 

工作時每年須提撥至年金w-x=w0 e^(λt) (1-e^(-nT2))/ (e^(nT1)-e^(-nT2))

退休後每年領取 w0 e^(λt) (e^(nT1)-1)/ (e^(nT1)-e^(-nT2))

人口成長率n越高,提撥率越低,成長率越低甚至負成長率時提撥率越高

在固定人口成長率(穩定成長或衰退)下,

令開始就業函數f(t)=f0 e^(nt), 則在T點工作人口為T-T1至T間就業者

養老人口為T-T1-T2至T-T1間就業者

工作人口總數=∫f0 e^(nt) dt= Δ f0/n e^(nt) = f0/n (e^(nT)-e^(n(T-T1)))

養老人口總數= f0/n (e^(n(T-T1))-e^(n(T-T1-T2)))

配合前面2.年金提撥與支出

工作總提撥=f0w0/n e^(λt) (e^(nT)-e^(n(T-T1))) (1-e^(-nT2))/ (e^(nT1)-e^(-nT2))

養老總支出

=f0w0/n e^(λt) (e^(n(T-T1))-e^(n(T-T1-T2))) (e^(nT1)-1)/ (e^(nT1)-e^(-nT2))

總支出/總提撥=(e^(-nT1)-e^(-n(T1+T2)))(e^(nT1)-1)/[(1-e^(-nT1)) (1-e^(-nT2))]=1

故年金制度可達收支平衡

                                                                                

Solow model中固定人口正負成長率下,世代交易是可以達成平衡的,

不過人口成長率越低,年金提撥率也越高,

若平均餘命(T2)的增加又將進一步拉高提撥率...

由於外國有效勞動力還在增加,融入世界經濟體,投資外國資產,

將來賣出資產給外國人或者是解法之一...