數學是發明還是發現？

在各領域都如此有用的數學，是人類發明的工具？還是人類發現的寶藏？ 

大多數人認為數學有用是理所當然，像是科學家以數學公式來描述次原子事件、工程師用數學計算太空船的路徑。我們接受最先由伽利略倡議的觀點：數學是科學的語言，其文法可以解釋實驗結果，甚至預測奇特的現象。數學驚人的威力處處可見，譬如蘇格蘭物理學家馬克士威（James Clark Maxwell）的著名方程組，他的四個算式不只總結了1860年代所有已知的電磁現象，並且預示了無線電波的存在，比德國物理學家赫茲（Heinrich Hertz）偵測到它還早了20年。極少語言這麼有效率，能將具有價值的眾多材料，如此簡潔、精確又清楚地表達出來。愛因斯坦曾反思說：「數學做為人類思想的產物，獨立於經驗之外，怎麼可能和現實世界配合得如此天衣無縫？」

身為一位理論天文物理學家，我在每一個工作環節都會遇到「數學不合理的有效性」（unreasonable effectiveness of mathematics），這是1960年諾貝爾物理獎得主魏格納（Eugene Wigner）的用語。不論我是在研究哪些前身恆星系統會爆炸成Ia型超新星，或者計算太陽最終變成紅巨星時地球的命運，我所使用的工具或發展的模型都是數學。數學掌握自然世界的不可思議特質，讓我始終著迷。在10年前，我對這個課題有了更深刻的想法。

數學家、物理學家、哲學家、認知科學家，早已為這個謎團的核心議題，爭論了數百年。數學到底是如愛因斯坦所相信的，是一組發明出來的工具？還是數學確實存在於某個抽象的場域，而我們只是發現其中的真理？許多著名數學家，包括希爾伯特（David Hilbert）、康托（Georg Cantor），還有暱稱為布爾巴基（Bourbaki）的一群數學家，他們相信愛因斯坦的看法，相關的思想學派稱為形式主義（Formalism）。但是另一群傑出的思想家，包括哈迪（Godfrey Harold Hardy）、彭若斯（Roger Penrose）、哥德爾（Kurt Godel）則持對立的看法，這個思想學派稱為柏拉圖主義（Platonism）。

這項數學本質的爭論延續至今，似乎仍然很難解答。不過我相信，這是因為我們過度簡單的二分法提問「數學是發現還是發明？」，反而忽略了比較複雜的可能性：發明和發現都扮演了重要的角色。我認為兩者合起來才能解釋數學為什麼這麼有用。雖然消除發明與發現的對立性，並不能全然解釋數學不合理的有效性，但針對這個影響深遠的問題，即使是不完整的一小步，仍算有所進展。

既是發明也是發現

數學不合理的有效性有兩層很不一樣的意義，一者積極，一者消極。有時科學家為了將現實世界的現象量化，會發明特殊的方法。例如牛頓發明微積分是為了掌握運動與變化，於是將其切割成一連串無窮小的片段。因為這畢竟是量身打造的工具，所以這類積極發明當然有效。令人訝異的是在某些情況下，這些理論展現驚人的精確度。以量子電動力學為例，這是描述光和物質作用的數學理論。科學家計算電子的磁矩時發現，理論的計算值和2008年得到的最新實驗值1.00115965218073（以適當單位測量）符合，準確度竟高達兆分位。

也許更令人驚奇的是，有時數學家在發展一整套的研究時，心裡並沒有任何預設的應用。結果經過幾十年甚至幾百年後，物理學家才發現這個數學分支的研究，竟然和他們的觀察頗有相合之處。這種消極有效性的例子不勝枚舉，例如法國數學家迦羅瓦（屴ariste Galois）在19世紀初發展了群論，唯一目的是要判斷多項式的可解性。群的涵義很廣泛，它是由一些物件集合（例如整數）所構成的代數結構，並以某種運算（例如加法）來結合，而且該運算必須遵守特定規則。（其中包括單位元素如0的存在性，0加任何數的結果還是該數。）結果到了20世紀，這門非常抽象的數學，竟成為刻畫物質基礎，也就是基本粒子最豐饒的理論。1960年代，葛爾曼（Murray Gell-Mann）與尼曼（Yuval Ne