龐加萊（Poincare）是二十世紀初、也是世界數學史上最偉大的數學家之一。在１９０４年，他給了下面這個猜想：

在三度空間裏，任何封閉的、單一連結的流形（manifold）一定和三度空間的球(sphere)同胚（homeomorphic）。

如果沒有足夠的知識背景，上面這個數學命題就不容易精確地敘述。但是精確的敘述又要牽涉很多奇怪的名詞。不要害怕，更無需驚慌，這些名詞都是唬人的。YST給諸位一個非常直覺的解釋，不需要艱深的數學定義就能瞭解，雖不中亦不遠矣。您只要有一點點空間想像力，就大概知道近代幾何學家到底在想什麼。

龐加萊猜想是幾何學上一個非常基礎的問題。幾何學裏有一個分支，叫做拓普學（topology），專門研究幾何圖形在空間的連續變化。任何兩個幾何形體A與B，如果能夠經過連續變化從A得到B，我們就叫A與B同胚（homeomorphic）。基本上，數學家把同胚的幾何形體當作同樣的東西，沒有區別的必要。

數學家最愛舉的例子，就是一個咖啡杯與一個甜甜圈（donut）是「同胚」。為什麼呢？我們來仔細瞧瞧這兩件物體。

首先，你把甜甜圈豎立起來。然後，你可以想像用手指去壓甜甜圈頂端的某一處，然後那個地方就陷下去，形成一個窩。你再繼續用力，那個深陷的窩就變得越來越大。當這個窩變得足夠大的時候，這個窩就是盛咖啡的凹陷的部份，剩下的部分就是咖啡杯的耳朵，你可以一個指頭伸進去、四個指頭在外面穩穩地拿著。你看，一個甜甜圈經過連續的變化，就變成一個咖啡杯了。所以數學家說，一個咖啡杯與一個甜甜圈是「同胚」。

但是一個甜甜圈跟YST最喜歡吃的新竹貢丸就不是「同胚」。為什麼呢？因為甜甜圈中間有一個洞而貢丸沒有，所以無論你怎麼做連續變化，怎麼努力的捏它，絕不可能把甜甜圈變成貢丸。

為了區別「有洞」和「沒洞」的幾何形體，數學家取了一個新名詞叫做「單一連結」（simply connected），並且給它下面這個定義：

一個形體，如果在它上面任何一個封閉曲線都可以縮成一個點，我們稱這個形體是「單一連接」的。

我們很容易看出來新竹貢丸是「單一聯結」的，而甜甜圈不是「單一連接」。用直覺的說法，「單一連接」的形體是沒有洞的。

好了，我們現在大致可以描述「龐加萊猜想」是說甚麼了。

這個法國大數學家龐加萊在１９０４年做了下面這個猜想：

任何封閉的、單一連接的、三度空間的形體，一定和三度空間的球，是「同胚」。

龐加萊的猜測也就是說，在三度空間裏，任何一個封閉的、沒有洞的形體，一定可以被捏成一個球。

你看到這個命題一定會哈哈大笑，這麼簡單的道理當然是真的啦！但是，這只是你直覺下的想像。數學的定理都是在幾個「公理」下，用邏輯嚴密的推論，一步一步地証明出來的。這種越是看起來簡單、道理非常明顯的命題，其証明越是困難。

龐加萊的猜測難倒了全世界的數學家，當然也包括他自己。後來數學家把「龐加萊猜想」由三度空間延伸到任何 N 度空間，N 是一個大於或等於３的整數。

YST有一位數學家朋友多年前曾經告訴我，大概過了半個多世紀，也許是６０年代吧，美國出現了一位年輕數學家叫史曼（Stephen Smale），他發明了一個非常天才的方法，把「龐加萊猜想」的一部分証明出來。他証明當 N 大於或等於５的時候，「龐加萊猜想」為真。史曼天才式的証明使他聲名鵲起，獲得了數學界的最高榮譽，1966年的費爾玆獎（註）。

二十年後美國又出現了一位天才數學家，叫費德曼（Michael Freedman），他証明了 N = 4 的「龐加萊猜想」。費德曼獲得了1986年的費爾玆獎。

但是這些都是「龐加萊猜想」的延伸，真正原始的、三度空間的「龐加萊猜想」一直未能被証明出來。這個二十世紀最有名的猜想，是當今數學七大難題之一。美國麻省有一個克萊數學研究所（Clay Mathematics Institute），在公元兩千年設立了「世紀難題大獎」，對這七個難題每個懸賞一百萬美元。

在此附帶一提的是，七大世紀難題其中的第五個難題，是楊振寧—米爾斯方程式（Yang-Mills Equations），描述物理裏「楊振寧—米爾斯規範場理論」的數學方程式。我認為「楊振寧—米爾斯規範場理論」也許是楊振寧對物理最大的貢獻，超過他與李政道獲得諾貝爾獎的「宇稱不守恆理論」。據說楊振寧的博士指導教授泰勒博士（Edward Teller，美國氫彈之父）強烈建議諾貝爾委員會應該頒發楊振寧第二個諾貝爾獎。

好了，讓我們回到主題，「龐加萊猜想」。

在兩個偉大的美國數學家之後，這次輪到俄國和中國的數學家了。2002年俄國天才數學家派瑞曼（Grigori Perelman）號稱把「龐加萊猜想」不但証明出來，而且証明在一個更廣的定義裏，也就是說「龐加萊猜想」只是他証明的一個特殊情況。2003年派瑞曼把他的証明放在國際網路裏的一個數學網站，供大家欣賞。並且接受中國數學家田剛（美國麻省理工學院教授）的邀請來美國做一連串的演講，非常轟動，也引起了激烈的競爭。

這時候，由中國數學家丘成桐（哈佛大學教授，1982年費爾玆獎得主）領導的研究小組也在做同樣的問題。曹懷東（美國黎海大學教授，丘成桐的學生）與朱熹平（中國中山大學教授）也號稱作出了「龐加萊猜想」的全部証明，並搶先正式發表了結果。

派瑞曼的証明在先，但是只發表在網站上，不是正式的數學雜誌，也沒有編輯審閱。這麼複雜的証明３年來一直被全球數學家檢驗，尚未獲得証實。

曹懷東與朱熹平則在哈佛大學花費了半年時間在該校講解他們的証明，然後把結果正式發表在今年６月的亞洲數學雜誌，全部証明長達三百頁，該期雜誌只登載他們兩人的這一篇文章。

誰真正証明了「龐加萊猜想」？派瑞曼？曹懷東與朱熹平？我不知道。

十年前，美國數學家漢米爾頓（Richard Hamilton）發明了「瑞絲流」（Ricci flow）的新概念為「龐加萊猜想」的証明打下了根基。

三年前，俄國數學家派瑞曼在「瑞絲流」的基礎上搭蓋出來了「龐加萊猜想」証明的整個結構，並給出了証明。但據說他的証明裏面有暇疵。

最後，中國數學家曹懷東與朱熹平根據派瑞曼的結構，把所有的証明漏洞都補起來，完成了全部的証明。用丘成桐的話，曹懷東與朱熹平為「龐加萊猜想」這個百年難題封了頂。

科學家之間的競爭非常激烈。「龐加萊猜想」就是一個很好的例子。

漢米爾頓的功勞非常大，也許是最大，因為他為「龐加萊猜想」的証明打下了基礎。但是他沒有給出証明。

派瑞曼的功勞也很大，因為他給出了証明。即使証明的細節裏面有錯，但是証明的結構是他建立的。

曹懷東與朱熹平作出了「龐加萊猜想」完整的証明，而且正式發表了結果。但是即使証明是完美無瑕的，他們用的是漢米爾頓的根基與派瑞曼的結構，在創造力上遜於前面兩位數學家，除非他們的証明指出了派瑞曼的結構有重大錯誤，而他們發明了非常天才的方法另起爐灶，繞過這個結構所產生的困難，而完成了証明。

在這裏我們必須瞭解，數學上的証明並不是最重要的。為了証明某個問題而發明出開創性的新觀念與新技巧，這才是最重要的。

今年８月在西班牙的首都馬德里，要舉行國際數學大會。所有問題的答案都會在大會上揭曉。

YST做一個不負責任的預測：在這場激烈的世界腦力長途競賽中，派瑞曼將是馬德里國際數學大會上真正的英雄。

註：

當年諾貝爾在設立這個以他的名字為獎的時候，在他的遺囑裏特別指明不可設立數學獎。據說這是因為他的老婆跟一個數學家私奔了，諾貝爾直到去世，他對數學家的餘恨未消。

加拿大數學家費爾玆（John Charles Fields）眼見數學沒有國際性的獎勵，就成立了費爾玆獎，主要是鼓勵年輕的數學家。第一次給獎是在1936年，後來空了好幾年，然後在一九五０年起便沒有中斷過。

費爾玆獎（Fields Medal）是數學的最高榮譽。有人把費爾玆獎比喻成數學的諾貝爾獎，其實不太恰當。費爾玆獎非常特別，我個人認為可能比諾貝爾獎要困難得多。首先費爾玆獎有年齡的限制，不能超過四十歲；其次，它四年才頒發一次，每次不能超過四人；第三，它不是因為某一項特殊成就而給獎，而是要求有整體的貢獻。

曹懷東（四十六歲）與朱熹平（四十二歲）是不可能得費爾玆獎的；派瑞曼剛好是四十歲，也許有可能在今年獲獎。